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センター試験2017 解答・解説 数学Ⅱ・B第2問

センター試験2017 解答速報

(1)

2次曲線に接する直線を一般的に求める。問題を進めていくうえでも明らかになるが、ある1つの点から2次曲線に接線は2本引けることを十分理解しておきたい。

公式があるので、それを利用するのが最も速く解けると思われる。しかし、その点における傾きを微分から求めることで解けることも覚えておきたい。

 

(2)

(1)で得た直線lとy軸との交点Rを新たに考える。三角形OPRの面積を求めるが、辺ORを底辺、高さは点Pのx座標と考えるのが良いだろう。今回、点Rのy座標は正であるとされているので、y座標の値をそのまま底辺の長さとできる。

面積Sがaの関数で求まると、0<a<1の範囲でその最大値を求める。

面積Sを微分すると、aが0から2/3の範囲で面積は増加し、それを越えると減少することが分かるので、面積Sはa=2/3で最大値をとる。

 

(3)

x=0~aの範囲で面積Tを積分計算により求める。

ここでは、面積Tを無理に視覚的に捉えようとしない方が、時間を節約できるかもしれない。機械的に積分計算を実行し、(2)同様に面積Tの増減を2/3≦a≦1の範囲で考える。